משפט פיתגורס

From ויקישיבה
Jump to navigation Jump to search

משפט פיתגורס הוא כלל בגיאומטריה המאפשר לדעת את אלכסון המלבן או אלכסון של משולש ישר זווית (שהוה כחצי מלבן). הכלל אומר שאם תחשב את אורך המלבן כפול עצמו וכן את הרוחב כפול עצמו. ותחבר אותם יחד אז השורש של הסכום הוא אורך האלכסון. לדוגמא אם המלבן 3 על 4 אז 3*3=9 4*4=16 סך הכל 25 השורש שלו (איזה מספר כפול עצמו יוציא אותה תוצאה) הוא 5. לא תמיד אפשר למצוא את האלכסון במדוייק למשל אלכסון של ריבוע לפי זה הוא למרובע של 50 על 50 בערך 70 ו-2/3

המשפט במקורות היהדות[edit]

המשפט לא מוזכר בתלמוד[1]. אמנם מפרשי המשנה הזכירו אותו.
הרמב"ם במסכת עירובין פרק ב' משנה ה' מפרש את המשנה באופן שמצריך שימוש במשפט. לפי דבריו עניין "ארכו פי שניים ברחבו" הכוונה שהאלכסון הוא פי שניים מרוחב המרובע ששטחו 5000 אמות מרובעות.
הר"ש במסכת כלאיים פרק ה' משנה ה' מזכיר את המשפט "ובני אדם חכמי המדות אמרו,דכל מרובע ב' קוים כמרובע האלכסון. שמודדים מידת אורכו ועושים ריבוע כמידתו, ומודדים מידת רוחבו ועשים ריבוע כמידתו, ומודדים מידת אלכסון ועושים ריבוע כמידתו, יעלה אלכסונו כשיעור אותם ב' רבועים" אבל הוא לא מזכיר את פיתגורס אלא כותבו בשם "חכמי המידות".
התוספות יום טוב על שתי המשניות הנ"ל מאריך בחישובים המבוססים על המשפט. בכלאיים פרק ה' משנה ה' הוא גם מזכיר שאקלידוס הוכיח את המשפט.
בספר איל משולש של הגר"א מובאות שתי הוכחות למשפט. הוכחה על ידי יצירת ריבוע מארבעה משולשים[2], והוכחה על ידי חפיפת משולשים.,‏[3]


החזון אי"ש[4] הביא את ההוכחה הזו.

  1. הגמרא במסכת סוכה דף ח, עמוד א' "כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא" אינה שימוש במשפט פיתגורס, למרות שהיא קירוב של תוצאה שלו.
  2. אות עה
  3. אות עו
  4. כלאיים סימן יב אות א.